Límites trigonométricos especiales

En este artículo vamos a abordar algunos límites trigonométricos especiales, que son fundamentales en el cálculo y análisis matemático.

1. \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]
2. \[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0 \]

Demostración N°1

Para demostrar el primer límite, consideremos el círculo unitario y un ángulo \(\alpha\) en radianes:

Ahora, por medio de cada una de las áreas de las figuras geométricas, determinaremos el valor del límite que estamos demostrando:

En este primer caso, el área es igual a: \[ \frac{\tan \alpha}{2} \]

Como esta área dle sector circular está dentro del anterior, como máximo su área va a ser igual al primer triángulo.
Su área es: \[ \frac{\alpha}{2} \]

Para este último caso pasa lo mismo que el anterior, como está inscrito, su área es como mucho igual a la del segundo triángulo. Su área es igual a: \[ \frac{\sin \alpha}{2} \]

Podemos ver que nos queda como resultado esta desigualdad: \[ \frac{\tan \alpha}{2} \geq \frac{\alpha}{2} \geq \frac{\sin \alpha}{2} \]

Al multiplicar cada expresión por \(\frac{2}{\sin \alpha}\) resulta: \[ \frac{1}{\cos \alpha} \geq \frac{\alpha}{\sin \alpha} \geq \ 1 \] Tomando sus recíprocos e inviertiendo las desigualdades se obtiene: \[ \cos \alpha \leq \frac{\sin \alpha}{\alpha} \leq 1 \] Dado que: \[ \lim_{x \to 0} 1 = \lim_{x \to 0} \cos \alpha = 1 \] podemos aplicar el teorema del encaje para concluir que: \[ \lim_{\alpha \to 0} \frac{\sin \alpha}{\alpha} = 1 \]

Demostración N°2

Para esta segunda demostración se hará uso de las propiedades de los límites.
Primero múltiplicaremos la función por su conjugado: \[ \frac{1 - \cos x}{x} = \frac{1 - \cos x}{x} \cdot \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x} = \frac{1 - \cos^2 x}{x (1 + \cos x) } \] inmediatamente identificamos la identidad trigonomética \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\) \[ \frac{1 - \cos^2 x}{x (1 + \cos x) } = \frac{\sin^2 x}{x(1 + \cos x) } \] Reescribimos la expresión usando la identidad \[ \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x}{1 + \cos x} \] Se paramos los límites en dos factores \[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x}{1 + \cos x} \] Utilizamos las propieadades de los límites \[ \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x}{1 + \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{1 + \cos x} \] Gracias a la demostración anterior, sabemos que \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\), reemplazando la operación nos queda de la siguiente forma: \[ 1 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{1 + \cos x} = 0 \]