Límites trigonométricos especiales

En este artículo vamos a abordar algunos límites trigonométricos especiales, que son fundamentales en el cálculo y análisis matemático.

1. $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$
2. $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$$

Demostración N°1

Para demostrar el primer límite, consideremos el círculo unitario y un ángulo $\alpha$ en radianes:

Ahora, por medio de cada una de las áreas de las figuras geométricas, determinaremos el valor del límite que estamos demostrando:

En este primer caso, el área es igual a: $$\frac{\tan \alpha}{2}$$

Como esta área dle sector circular está dentro del anterior, como máximo su área va a ser igual al primer triángulo.
Su área es: $$\frac{\alpha}{2}$$

Para este último caso pasa lo mismo que el anterior, como está inscrito, su área es como mucho igual a la del segundo triángulo. Su área es igual a: $$\frac{\sin \alpha}{2}$$

Podemos ver que nos queda como resultado esta desigualdad: $$\frac{\tan \alpha}{2} \geq \frac{\alpha}{2} \geq \frac{\sin \alpha}{2}$$

Al multiplicar cada expresión por $\frac{2}{\sin \alpha}$ resulta: $$\frac{1}{\cos \alpha} \geq \frac{\alpha}{\sin \alpha} \geq \ 1$$ Tomando sus recíprocos e inviertiendo las desigualdades se obtiene: $$\cos \alpha \leq \frac{\sin \alpha}{\alpha} \leq 1$$ Dado que: $$\lim_{x \to 0} 1 = \lim_{x \to 0} \cos \alpha = 1$$ podemos aplicar el teorema del encaje para concluir que: $$\lim_{\alpha \to 0} \frac{\sin \alpha}{\alpha} = 1$$

Demostración N°2

Para esta segunda demostración se hará uso de las propiedades de los límites.
Primero múltiplicaremos la función por su conjugado: $$\frac{1 - \cos x}{x} = \frac{1 - \cos x}{x} \cdot \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x} = \frac{1 - \cos^2 x}{x (1 + \cos x) }$$ inmediatamente identificamos la identidad trigonomética $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ $$\frac{1 - \cos^2 x}{x (1 + \cos x) } = \frac{\sin^2 x}{x(1 + \cos x) }$$ Reescribimos la expresión usando la identidad $$\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x}{1 + \cos x}$$ Se paramos los límites en dos factores $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x}{1 + \cos x}$$ Utilizamos las propieadades de los límites $$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x}{1 + \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{1 + \cos x}$$ Gracias a la demostración anterior, sabemos que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, reemplazando la operación nos queda de la siguiente forma: $$1 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{1 + \cos x} = 0$$