Matemático Frustrado

Si \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) son vectores en \(\mathbb{R}^n\) y \(\vec{u} \neq 0\), entonces la proyección de \(\vec{v}\) sobre \(\vec{u}\) es el vector \(proy_u(\vec{v}\) definido por \[ \text{proy}_{\vec{u}}(\vec{v}) = \left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\vec{u} \cdot \vec{u}}\right) \vec{u} \]

Dos vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) en \(\mathbb{R}^n\) son mutuamente ortogonales si \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \] el vector cero (\(\vec{0}\)) es ortogonal a todo vector

Para vectores \(\vec{u} \text{ y } \vec{v}\) distintos de cero en \(\mathbb{R}^n\) \[ \cos {\theta} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} \]

La distancia \(d(\vec{u}, \vec{v})\) en \(\mathbb{R}^n\) se define por \[ d(\vec{u}, \vec{v}) = \| \vec{u} - \vec{v} \| \]

La norma (o logitud ) de un vector \(\vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \text{ en } \mathbb{R}^n \text{ es el escalar no negativo } \|\vec{v}\|\) definido por: \[ \|\vec{v}\| = \sqtr{\vec{v} \cdot \vec{v}} = \sqtr{{v_1}^2 + {v_2}^2 + \dotsc + {v_n}^2} \]

Si \[ \vec{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix} \text{ y } \vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \] entonces el producto punto \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) de \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) se define mediante \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \dotsb + u_nv_n \]

Un vector \(\vec{v}\) es una combinación lineal de vectores \(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \dotsc, v_k\) si existen escalares \(c_1, c_2, \dotsc, c_k\) tales que: \[ \vec{v} = c_1v_1 + c_2v_2 + \dotsc + c_kv_k \]

Una función \(f\) es continua en un intervalo cerrado \([a, b]\) si es continua en el intervalo abierto \((a, b)\) y \[ \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \text{ y } \lim_{x \to b^-} f(x) = f(b) \]

Límite lateral por la derecha Un límite lateral por la derecha signfica que \(x\) se aproxima a \(c\) por valores superiores a \(c\) y se denota como: \[ \lim_{x \to c^+} f(x) = L \] Límite lateral por la derecha El límite lateral por la izquierda significa que \(x\) se aproxima a \(c\) por valores inferiores a \(c\). Se denota como: \[ \lim_{x \to c^-} f(x) = L \]

Definición Consideremos un intervalo abierto \(I\) que contiene un número real \(c\). Si una función \(f\) está definida en \(I\) (excepto, posiblemente, en \(c\)) y no es continua en \(c\), se dice que \(f\) tiene discontinuidad en \(c\). Tipos de discontinuidad Discontinuidad evitable o removible Una discontinuidad en \(c\) es evitable o removible si \(f\) se puede hacer continua definiendo o redefiniendo apropiadamente \(f(c)\) Ejemplos: Discontinuidad inevitable o no removibles Una función \(f\) con discontinuidad inevitable o no removibles en un punto \(c\) no se puede hacer continua mediante ninguna manipulación del punto \(c\) o la función \(f\) Ejemplos:

Definición de continuidad en un punto Una función \(f\) es contina en \(c\) si se satisfacen las tres condiciones siguientes: \(f(c)\) está definida. \(\lim_{x \to c} f(x)\) existe. \(\lim_{x \to c} f(x) = f(c)\). Definición de continuidad en un intervalo abierto Una función es continua en un intervalo abierto \(a, b\) si es continua en cada punto del intervalo. Una función continua en la recta completa de los números reales \((-\infty, \infty)\) es continua en todas partes.

Sea \(f\) una función definida en un intervalo abierto que contiene a \(c\) (salvo posiblemente en \(c\)) y \(L\) un número real. La afirmación \[ \lim_{x \to c} f(x) = L \] significa que para todo \(\epsilon > 0\) existe uno \(\delta > 0\) tal que si \[ 0

Si un límite no existe se debe a que, al menos, cumple uno de los siguientes tres casos: 1. Comportamiento diferente por la derecha y por la izquierda Cuando se dice que una función \(f\) tiene "comportamientos diferentes por la derecha y por la izquierda" al acercarnos a \(c\), significa que cuando nos aproximamos por valores menores a \(c\) (por la izquierda), obtenemos un resultado diferente al hacercarnos con valores mayores a \(c\) (por la derecha). Ejemplo: \[ \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x} \] 2. Comportamiento no acotado El comportamiento "no acotado" en una función \(f\) significa que cuando nos aproximámos a \(c\), ya sea por la derecha o la izquierda, la función crecer sin límite o, en su defencto, disminuye sin límite. Ejemplo: \[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \] Comportamiento oscilante Cuando en una función /(f/) nos hacercamos a /(c/) y por más cercanos que sea nuestro \(delta\...