Matemático Frustrado

Si \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) son vectores en \(\mathbb{R}^n\) y \(\vec{u} \neq 0\), entonces la proyección de \(\vec{v}\) sobre \(\vec{u}\) es el vector \(proy_u(\vec{v}\) definido por \[ \text{proy}_{\vec{u}}(\vec{v}) = \left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\vec{u} \cdot \vec{u}}\right) \vec{u} \]

Sean \(\vec{u} \text{ y } \vec{v}\) vectores en \(\mathbb{R}^n\) y ortogonales entre si, entonces: \[ \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 \]

Dos vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) en \(\mathbb{R}^n\) son mutuamente ortogonales si \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \] el vector cero (\(\vec{0}\)) es ortogonal a todo vector

Para vectores \(\vec{u} \text{ y } \vec{v}\) distintos de cero en \(\mathbb{R}^n\) \[ \cos {\theta} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} \]

Para un triángulo cualquiera con lados \(a, b, c\) opuestos a los ángulos \(A, B, \text{ y } C\) respectivamente: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot \cos{C} \] De forma similar, también se puede afirmar para los otros lados del triángulo: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos{A} \\ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos{B} \]

La distancia \(d(\vec{u}, \vec{v})\) en \(\mathbb{R}^n\) se define por \[ d(\vec{u}, \vec{v}) = \| \vec{u} - \vec{v} \| \]

Para todos los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) en \( \mathbb{R}^n \) \[ | \vec{u} \cdot \vec{v} | \leq \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \]