Matemático Frustrado

Sea \(\vec{v}\) un vector en \mathbb{R}^n y sea \(c\) un escalar. Entonces: \(\|\vec{v}\| = 0\) si y sólo si \(\vec{v} = 0\) \(\|c\vec{v}\| = |c| \|\vec{v}\|\)

La norma (o logitud ) de un vector \(\vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \text{ en } \mathbb{R}^n \text{ es el escalar no negativo } \|\vec{v}\|\) definido por: \[ \|\vec{v}\| = \sqtr{\vec{v} \cdot \vec{v}} = \sqtr{{v_1}^2 + {v_2}^2 + \dotsc + {v_n}^2} \]

Sean \(\vec{u}, \vec{v}\) y \(\vec{w}\) vectores en \(\mathbb{R}\), y sea \(c\) un escalar, Entonces: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\) \(\vec{u} (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}\cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}\) \((c\vec{u}) \cdot \vec{v} = c(\vec{u} \cdot \vec{v})\) \(\vec{u} \cdot \vec{u} \geq 0 \text{ y } \vec{u} \cdot \vec{u}\) si y sólo si \(\vec{u} = 0\)

Si \[ \vec{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix} \text{ y } \vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \] entonces el producto punto \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) de \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) se define mediante \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \dotsb + u_nv_n \]

Un vector \(\vec{v}\) es una combinación lineal de vectores \(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \dotsc, v_k\) si existen escalares \(c_1, c_2, \dotsc, c_k\) tales que: \[ \vec{v} = c_1v_1 + c_2v_2 + \dotsc + c_kv_k \]

Sean \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) vectores en \(\mathbb{R}\) y sean \(c\) y \(d\) escalares. Entonces \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\) \((\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})\) \(\vec{u} + 0 = \vec{u}\) \(\vec{u} + (-\vec{u}) = 0\) \(c(\vec{u} + \vec{v}) = c\vec{u} + c\vec{v}\) \((c + d)\vec{u} = c\vec{u} + d\vec{u}\) \(c(d\vec{u}) = (cd)\vec{u}\) \(1\vec{u} = \vec{u}\)

Si \(b\) es un número real y \(f\) y \(g\) son continuas en \(x=c\), entonces las siguientes funciones también son continuas en \(c\). Múltiplo escalar: \(bf\) Suma y diferencia: \(f \pm g\) Producto: \(fg\) Cociente: \(\frac{f}{g}, \text{ si } g(c) \neq 0\)