Matemático Frustrado

Si \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) son vectores en \(\mathbb{R}^n\) y \(\vec{u} \neq 0\), entonces la proyección de \(\vec{v}\) sobre \(\vec{u}\) es el vector \(proy_u(\vec{v}\) definido por \[ \text{proy}_{\vec{u}}(\vec{v}) = \left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\vec{u} \cdot \vec{u}}\right) \vec{u} \]

Sean \(\vec{u} \text{ y } \vec{v}\) vectores en \(\mathbb{R}^n\) y ortogonales entre si, entonces: \[ \|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 \]

Dos vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) en \(\mathbb{R}^n\) son mutuamente ortogonales si \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \] el vector cero (\(\vec{0}\)) es ortogonal a todo vector

Para vectores \(\vec{u} \text{ y } \vec{v}\) distintos de cero en \(\mathbb{R}^n\) \[ \cos {\theta} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \|\vec{v}\|} \]

Para un triángulo cualquiera con lados \(a, b, c\) opuestos a los ángulos \(A, B, \text{ y } C\) respectivamente: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cdot \cos{C} \] De forma similar, también se puede afirmar para los otros lados del triángulo: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos{A} \\ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos{B} \]

La distancia \(d(\vec{u}, \vec{v})\) en \(\mathbb{R}^n\) se define por \[ d(\vec{u}, \vec{v}) = \| \vec{u} - \vec{v} \| \]

Para todos los vectores \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) en \( \mathbb{R}^n \) \[ | \vec{u} \cdot \vec{v} | \leq \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \]

Sea \(\vec{v}\) un vector en \mathbb{R}^n y sea \(c\) un escalar. Entonces: \(\|\vec{v}\| = 0\) si y sólo si \(\vec{v} = 0\) \(\|c\vec{v}\| = |c| \|\vec{v}\|\)

La norma (o logitud ) de un vector \(\vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \text{ en } \mathbb{R}^n \text{ es el escalar no negativo } \|\vec{v}\|\) definido por: \[ \|\vec{v}\| = \sqtr{\vec{v} \cdot \vec{v}} = \sqtr{{v_1}^2 + {v_2}^2 + \dotsc + {v_n}^2} \]

Sean \(\vec{u}, \vec{v}\) y \(\vec{w}\) vectores en \(\mathbb{R}\), y sea \(c\) un escalar, Entonces: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\) \(\vec{u} (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}\cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}\) \((c\vec{u}) \cdot \vec{v} = c(\vec{u} \cdot \vec{v})\) \(\vec{u} \cdot \vec{u} \geq 0 \text{ y } \vec{u} \cdot \vec{u}\) si y sólo si \(\vec{u} = 0\)

Si \[ \vec{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix} \text{ y } \vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \] entonces el producto punto \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) de \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) se define mediante \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \dotsb + u_nv_n \]

Un vector \(\vec{v}\) es una combinación lineal de vectores \(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \dotsc, v_k\) si existen escalares \(c_1, c_2, \dotsc, c_k\) tales que: \[ \vec{v} = c_1v_1 + c_2v_2 + \dotsc + c_kv_k \]

Sean \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) vectores en \(\mathbb{R}\) y sean \(c\) y \(d\) escalares. Entonces \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\) \((\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})\) \(\vec{u} + 0 = \vec{u}\) \(\vec{u} + (-\vec{u}) = 0\) \(c(\vec{u} + \vec{v}) = c\vec{u} + c\vec{v}\) \((c + d)\vec{u} = c\vec{u} + d\vec{u}\) \(c(d\vec{u}) = (cd)\vec{u}\) \(1\vec{u} = \vec{u}\)

Si \(b\) es un número real y \(f\) y \(g\) son continuas en \(x=c\), entonces las siguientes funciones también son continuas en \(c\). Múltiplo escalar: \(bf\) Suma y diferencia: \(f \pm g\) Producto: \(fg\) Cociente: \(\frac{f}{g}, \text{ si } g(c) \neq 0\)

Una función \(f\) es continua en un intervalo cerrado \([a, b]\) si es continua en el intervalo abierto \((a, b)\) y \[ \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \text{ y } \lim_{x \to b^-} f(x) = f(b) \]

Si \(f\) es una función \(c\) y \(L\) son números reales, el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) se aproxima a \(c\) es \(L\), si y sólo si \[ \lim_{x \to c^+} f(x) = \lim_{x \to c^-} f(x) = L \]

Límite lateral por la derecha Un límite lateral por la derecha signfica que \(x\) se aproxima a \(c\) por valores superiores a \(c\) y se denota como: \[ \lim_{x \to c^+} f(x) = L \] Límite lateral por la derecha El límite lateral por la izquierda significa que \(x\) se aproxima a \(c\) por valores inferiores a \(c\). Se denota como: \[ \lim_{x \to c^-} f(x) = L \]

Definición Consideremos un intervalo abierto \(I\) que contiene un número real \(c\). Si una función \(f\) está definida en \(I\) (excepto, posiblemente, en \(c\)) y no es continua en \(c\), se dice que \(f\) tiene discontinuidad en \(c\). Tipos de discontinuidad Discontinuidad evitable o removible Una discontinuidad en \(c\) es evitable o removible si \(f\) se puede hacer continua definiendo o redefiniendo apropiadamente \(f(c)\) Ejemplos: Discontinuidad inevitable o no removibles Una función \(f\) con discontinuidad inevitable o no removibles en un punto \(c\) no se puede hacer continua mediante ninguna manipulación del punto \(c\) o la función \(f\) Ejemplos:

Definición de continuidad en un punto Una función \(f\) es contina en \(c\) si se satisfacen las tres condiciones siguientes: \(f(c)\) está definida. \(\lim_{x \to c} f(x)\) existe. \(\lim_{x \to c} f(x) = f(c)\). Definición de continuidad en un intervalo abierto Una función es continua en un intervalo abierto \(a, b\) si es continua en cada punto del intervalo. Una función continua en la recta completa de los números reales \((-\infty, \infty)\) es continua en todas partes.

En este artículo vamos a abordar algunos límites trigonométricos especiales, que son fundamentales en el cálculo y análisis matemático. \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \] \[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0 \] Demostración N°1 Para demostrar el primer límite, consideremos el círculo unitario y un ángulo \(\alpha\) en radianes: Ahora, por medio de cada una de las áreas de las figuras geométricas, determinaremos el valor del límite que estamos demostrando: En este primer caso, el área es igual a: \[ \frac{\tan \alpha}{2} \] Como esta área dle sector circular está dentro del anterior , como máximo su área va a ser igual al primer triángulo. Su área es: \[ \frac{\alpha}{2} \] Para este último caso pasa lo mismo que el anterior, como está inscrito, su área es como mucho igual a la del segundo triángulo. Su área es igual a: \[ \frac{\sin \alpha}{2} \]

Si \(h(x) \leq f(x) \leq g(x)\) para todos los \(x\) en un intervalo abierto que contiene a \(c\) por la posible excepción de la propia \(c\), y si \[ \lim_{x \to c} h(x) = L = \lim_{x \to c} g(x) \] entonces el \(\lim_{x \to c} f(x)\) existe y es igual a \(L\)

Sea \(c\) un número real y \f(x) = g(x) para todo \(x \neq c\) en un intervalo abierto que contiene a \(c\). Si existe el límite de \(g\) cuando \(x\) se aproxima a \(c\), entonces también existe el límite de \(f(x)\) y \[ \lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) \]

Sea \(c\) un número real en el dominio de una función trogonométrica dada. \[\lim_{x \to c} \sin x = \sin c\] \[\lim_{x \to c} \cos x = \cos c\] \[\lim_{x \to c} \tan x = \tan c\] \[\lim_{x \to c} \cot x = \cot c\] \[\lim_{x \to c} \sec x = \sec c\] \[\lim_{x \to c} \csc x = \csc c\]

Si \(f\) y \(g\) son funciones tales que \(\lim_{x \to c} g(x) = L\) y \(\lim_{x \to L} f(x) = f(L)\), entonces: \[ \lim_{x \to c} f(g(x)) = f \left( \lim_{x \to c} g(x) \right) = f(L) \]

Si \(n\) es un entero positivo. El siguiente límite es válido para toda \(c\) si \(n\) es impar, y para toda \(c > 0\) si \(n\) es par: \[ \lim_{x \to c} \sqrt[n]x = \sqrt[n]c \]

Límite de un polinomio Para hallar el límite de un polinomio es necesario tener en cuenta las propiedades de los límites . Ahora intenta resolver este límite: \[ \lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 2) \] Sabemos por la propiedad de suma o diferencia de límites que: \[ \lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 2) = \lim_{x \to 2} x^2 - \lim_{x \to 2} 3x + \lim_{x \to 2} 2 \] Dándonos como resultado límites básicos que se resuelven fácilmente por medio de sustitución directa . Esto mismo es válido para todas las funciones polinomiales y racionales cuyos denominadores no se conviertan en 0 en el punto considerado. Teorema de resumen Si \(p\) es una función polinomial y \(c\) un número real, entonces: \[ \lim_{x \to c} p(x) = p(c) \] Si \(r\) es una función racional dada por \(r(x) = \frac{p(x)}{q(x)}\) y \(c\) es un número real tal que \(q(c) \neq 0\), entonces: \[ \lim_{x \to c} r(x) = r(c) = \frac{p(c)}{q(c)} \]

Para entender las propiedades de los límites debemos saber los límites básicos: \[\lim_{x \to c} b = b\] \[\lim_{x \to c} x = c\] \[\lim_{x \to c} {x^n} = c^n\] Si \(b\) y \(c\) son números reales y \(n\) un entero positivo, \(f\) y \(g\) son funciones scon los límites siguientes \[ \lim_{x \to c} f(x) = L \text{ y } \lim_{x \to c} g(x) = K \] Múltiplo escalar: \[ \lim_{x \to c} [bf(x)] = bL \] Suma o diferencia \[ \lim_{x \to c} [f(x) \pm g(x)] = L \pm K \] Producto \[ \lim_{x \to c} [f(x)g(x)] = LK \] Cociente \[ \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{K} \text{ , simpre que } K \neq 0 \] Potencias \[ \lim_{x \to c} [f(x)]^n = L^n \]

Sea \(f\) una función definida en un intervalo abierto que contiene a \(c\) (salvo posiblemente en \(c\)) y \(L\) un número real. La afirmación \[ \lim_{x \to c} f(x) = L \] significa que para todo \(\epsilon > 0\) existe uno \(\delta > 0\) tal que si \[ 0 < |x - c| < \delta, \text{ entonces } |f(x) - L| < \epsilon \]

Si un límite no existe se debe a que, al menos, cumple uno de los siguientes tres casos: 1. Comportamiento diferente por la derecha y por la izquierda Cuando se dice que una función \(f\) tiene "comportamientos diferentes por la derecha y por la izquierda" al acercarnos a \(c\), significa que cuando nos aproximamos por valores menores a \(c\) (por la izquierda), obtenemos un resultado diferente al hacercarnos con valores mayores a \(c\) (por la derecha). Ejemplo: \[ \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x} \] 2. Comportamiento no acotado El comportamiento "no acotado" en una función \(f\) significa que cuando nos aproximámos a \(c\), ya sea por la derecha o la izquierda, la función crecer sin límite o, en su defencto, disminuye sin límite. Ejemplo: \[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \] Comportamiento oscilante Cuando en una función /(f/) nos hacercamos a /(c/) y por más cercanos que sea nuestro \(delta\